拓扑优化技术是目前汽车零部件企业广泛应用的一种结构优化设计方法。它可以在零件结构方案设计阶段给材料合理布局，减轻结构重量。利用这项技术，汽车制造企业可以缩短新产品的研发周期，同时可以提高产品结构性能，减少甚至取消昂贵的零件样件的生产数量和结构物理试验的次数。
汽车变速箱作为汽车动力总成系统的重要组成部分，其结构形状相当复杂。由于不同车型的动力学性能、动力总成空间布置的多样性，从而导致了变速箱壳体结构设计空间的不确定性以及壳体轴承座上载荷分配的复杂性。同时，壳体的刚度、固有频率对于车辆的操纵性以及整车VNH性能具有相当大的影响，因此，设计出一个满足以上性能要求的变速箱壳体变得十分困难。
目前，国内绝大多数整车厂在变速箱壳体设计方面还没有一套成熟的开发流程和技术。本文将基于变密度法的拓扑优化技术引入到汽车变速箱结构设计中，按照变速箱可用设计空间将其结构分为优化区域和非优化区域，并建立了有限元模型。然后通过动力学软件计算出各种工况下轴承座的载荷，利用拓扑优化技术优化出多工况下结构加权柔度最小以及一阶固有频率最大化下的结构材料分配，再根据拓扑优化结果并综合考虑制造工艺性设计出新的壳体结构。最后对新结构分别进行标准工况下的强度分析和模态分析。
1 拓扑优化理论基础
拓扑优化的主要思想是在给定点设计区域内寻求承受载荷或多载荷结构的最佳材料分配。目前常用的结构拓扑优化方法有：变厚度法、变密度法和均匀化方法。连续体结构的拓扑优化问题一般可以分为静态柔度拓扑优化设计问题以及结构动力学特征值优化问题（即结构的固有频率优化）。
变密度法实际上是一种伪密度法，即人为假设的一种材料物理参数（如弹性模量）和密度之间的一种线性或者非线性的关系，经过拓扑优化后的单元密度一般按照0至1分布在给定的初始拓扑优化区域上。通过控制单元的密度向0或者1两端收敛，可以使得拓扑优化结果便于抽象成可以加工的结构，所以变密度法相对于其他拓扑方法有明显的优势，在目前的工程设计中得到广泛应用。
将结构进行网格划分后，每个单元的密度便为设计变量，拓扑优化目标即以结构的总柔度最小或者结构的一阶固有频率最大为优化设计目标，并控制结构总质量以及考虑边界平衡条件。这里假定材料弹性模量与其密度之间的关系为
式中：下标“0”为实际使用材料的材料特性；ｘ表示设计变量（即单元的密度），α＞1；E为材料的弹性模量；μ为泊松比。
以结构的加权总柔度最小化（即刚度最大化、应变能最小化）作为优化的目标函数,以结构整体的体积约束作为优化的约束条件，变密度法数学模型为
式中：［ ］K为系统的刚度矩阵；｛ ｝U为结构的位移向量；为避免总刚度矩阵奇异，取ｘｍｉｎ＝０．００１；ｎ为单元数目；Ｖｊ为第ｊ个单元体积；Ｖ为设定的材料体积值；Ｃ（ｘ）为结构的柔度。
基于模态分析的拓扑优化的目标是：在满足结构约束的情况下改善结构的模态特性，最大化结构最小的特征值，变密度法拓扑优化的数学模型为
式中：［ ］K为系统的刚度矩阵；［ ］M为系统的质量矩阵；｛ ｝i为与第ｉ阶特征值λi相关的特征向量；j为单元数目，j＝1，2，…，ｎ；ｉ为对应于结构自由度数的所有模态， ｉ＝1， 2，…，Ｎｄｏｆ。
2 变速器箱体结构的拓扑优化设计
2.1 拓扑优化模型的建立
在进行结构拓扑优化时，按照实际需要可以采用实体单元或者壳单元来建立初始的拓扑优化分析模型，通过指定拓扑优化模型中的设计域和非设计域来控制结构中的优化和不优化的部分。如变速箱壳体和悬置的支架以及和发动机的端面连接区域一般可以将其指定为非设计域，而动力总成可用设计空间的包络面为其优化设计域。
拓扑优化计算通常需要耗费大量的时间和精力，有时优化过程中需要改变设计优化参数和控制变量，使得优化过程耗时过长，因此，为了提高计算效率，必须控制拓扑优化模型的单元数目以及采用一阶单元来减少拓扑优化的时间。基于以上考虑，本文变速箱壳体采用一阶四面体单元来建立拓扑优化初始模型，变速箱壳体内壁采用壳单元来模拟并定义为非设计区域，其余部分为优化设计域，利用拓扑优化将优化区域的多余材料挖掉，剩下的部分即为变速箱壳体拓扑优化结果。
按照以上原则建立变速箱壳体拓扑优化模型，同时必须使其优化区域最大限度地充满动力总成可用设计空间，变速箱壳体有限元模型分别采用一阶实体四面体单元和壳单元来划分，最后共得到341934个实体单元和9377个壳单元，其拓扑优化模型。
2.2 载荷、约束条件以及设计目标
拓扑优化计算考虑了所有档位下的载荷（同时考虑了动力总成重力所产生的载荷），手工计算的方法是利用齿轮受力分析结合材料力学从而计算出各档下轴承座的受力值，除此之外，可以采用ADAMS、MASTA、ROMAX（专业的齿轴设计软件）来建立变速箱齿轴总成的详细模型，进而可计算各档情况下各轴承座的载荷，同时考虑整个变速箱总成在重力方向上的载荷，可以通过设定Cload值来实现垂直载荷的加载（Cload阈值可以通过路谱采集获得）。
由于变速器壳体和发动机刚性连接，故约束其结合端面各螺栓联接点ｘｙｚ向的移动以及ｘｚ向的旋转（坐标系和整车坐标系一致）。
静态优化设计目标为壳体刚度最大化，壳体总的质量约束为17kg， 约为设计空间的15％， 同时，增加拔模方向约束（拔模方向和传动轴线平行）， 壳体内壁提取壳单元（ 内壁为非优化区域），在以上约束的前提下通过拓扑优化来尽可能地提高壳体的刚 度，计算收敛的公差为0.005。动态拓扑优化设计的约束条件除了需要以上静态拓扑优化的约束条件以外， 还需约束其一阶模态最小值大于600Hz， 在以上约束条件下动态拓扑优化的目标为壳体的第一阶固有自然振动频率值在避开发动机固有频率（ 约400～600Hz）的情况下尽可能地提高。
2.3 拓扑优化结果
完成以上步骤后，就可以执行优化迭代计算。静态拓扑优化和动态拓扑优化后的材料分布如2和3所示，拓扑优化后材料分布是利用单元的密度值（0至1）来体现的（透明部分即密度值为零的区域，亦为拓扑优化后需要去除材料的部分）。
从体积响应的迭代收敛曲线来看，变速箱壳体的体积基本在设计空间的15％左右波动，当迭代次数大于10次的时候，体积比基本保持在一个稳定状态。
从结构柔度响应的迭代收敛曲线来看，结构总柔度最后收敛于最小值（即结构刚度达到最大）。从频率响应的迭代收敛曲线来看（见6），该曲线在收敛的过程中发生振荡现象，这是由于拓扑优化过程中产生的低密度单元而导致结构局部模态引起的，一阶固有频率经过迭代最终收敛于768Hz。
3 变速箱壳体结构设计
初始的变速箱壳体结构拓扑优化结果有一定的复杂性，所以必须要充分考虑到变速箱壳体的结构特点、装配条件、加工制造条件等因素。变速箱的壳体设计要根据其拓扑优化后的材料分布，并综合考虑以上所述的因素对变速箱壳体进行初始设计。按照拓扑优化后的材料分布，实体结构的地方表示进行结构设计时应该考虑设计加强筋（即单元密度接近1）的结构；透明区域表示进行结构设计时该处可以挖除的区域（即单元密度接近0）的结构。
从静态分析结果来看：前后壳体差速器输出端需要布置加强筋，本文采用纵向布置加强筋方式，前壳体（发动机端）输入轴的轴承座材料发生堆积，故也需要布置加强筋。同样从动态拓扑优化结果来看：为了提高其一阶模态，拓扑优化后材料在发动机和变速箱连接点螺栓处材料分布较多，所以在详细设计时要考虑在螺栓连接处布置适当的加强筋以提高其一阶模态频率。另外在设计该壳体时要考虑制造工艺要求，要设计一定的拔模角，壳体壁厚均匀且控制在3～5ｍｍ，为了达到一定的密封要求（变速箱里面通常保持一定容量的变速箱油以提高齿轮的传动效率），前后壳体螺栓必须均匀分布，且各螺栓之间距离不可间隔过大，综合这些设计因素经过详细设计后的壳体如7所示。
4 变速箱结构性能分析
考虑到结构轻量化的要求，变速箱壳体材料选择铸造铝合金ADC10，根据最终设计模型，对结构进行有限元验证分析，计算了结构在各工况下应力分布以及结构固有模态。
在6种工况下，壳体的表面应力结果如表1所示。从表１可以看出：壳体表面最大等效应力以及最大主应力均低于材料屈服点，完全可以满足变速器壳体的结构强度和耐久性性能要求。其中工况1下壳体应力值最大，因为该工况为一档起步工况，速比最大，所承载的载荷也最大，其应力分布如8所示。
动力总成的固有频率对整车的NVH性能有着至关重要的影响，根据变速箱设计要求一般应控制壳体的一阶约束模态值在600Hz以上（发动机端接地）。最终设计后的壳体模态分析结果及其振型如表2所示。从结构模态分析结果来看，结构第一阶模态值为733Hz，接近动态频率拓扑优化值，其结构模态振型如9所示，最终设计出来的变速箱壳体很好地避开了发动机共振敏感区。
从结构应力分析和模态分析结果来看：该变速箱结构性能均能满足设计要求，根据拓扑优化结果设计出的全新的变速箱结构性能达到了预期的目的，验证了拓扑优化在该结构上应用的可行性。
5 结论
(1) 在给定的变速箱壳体初始设计空间内，通过静态和动态拓扑优化方法分别得到了整体刚度最大化和结构一阶模态最大化下的材料分配，根据拓扑优化结果设计出的变速箱壳体结构满足动力总成空间布置要求。
(2) 变速箱壳体在各工况下应力分布均匀，没有应力集中部位，最大等效应力和主应力均低于材料屈服点，且结构一阶模态大于发动机的共振频率，同时提高了轴承座刚度。
(3) 通过拓扑优化设计很好地控制了变速箱结构的总质量，结构最终设计总质量为15kg。拓扑优化技术的应用使得产品在前期开发阶段就成功优化出了合理的变速箱结构，提高了产品的可靠性，大幅减少了后续改进的设计成本和制造成本。
