来自纳维-斯托克斯方程的故事

流体力学 (Fluid Mechanics) 有着非常漫长的历史，最古老的涉及流体力学的人物可能就是古希腊的阿基米德了 (Archimedes)，大家都知道的阿基米德浮力定理，当时阿基米德在羊皮纸上用希腊语写了论浮力 (On Floating Bodies) 的文章并流传至今。但是在很长时间里流体力学并不被当作一门独立的学科，直到1687年牛顿 (Isaac Newton) 在其划时代的巨著《自然哲学的数学原理》(Philosophiae Naturalis Principia Mathematica) 之后流体力学才真正走上历史舞台。在书中除了著名的牛顿三大定理以外，牛顿还提到流体力学相关的内容，他写到：对于平直的均匀流体，流体层与层之间的剪应力正比于垂直流体方向上的速度梯度。



阿基米德的手稿



牛顿的《自然哲学的数学原理》

除了阿基米德和牛顿以外，在流体力学的发展历程中，做出贡献的人物可以说是阵容豪华，比如非粘性流体 (Inviscid flow) 数学分析涉及的人物有欧拉 (Leonhard Euler), 达朗贝尔 (Jean le Rond d'Alembert)，拉格朗日 (Joseph Louis Lagrange), 拉普拉斯 (Pierre-Simon Laplace)，泊松 (Siméon Denis Poisson)；非粘性流体的数学分析涉及的人物有高斯 (Guass)，泊松，圣维南 (Saint-Venant) 等等，其它在流体力学中涉及湍流/紊流，粘性/非粘性的推动者有雷诺 (Osborne Reynolds)，泰勒 (Geoffrey Ingram Taylor) 等等。而对这些理论归纳整理的两位科学家就是纳维尔 (Claude-Louis Navier) 和斯托克斯 (George Gabriel Stokes)，当今有名的纳维尔-斯托克斯方程组 (Navier-Stokes Equations) 就是以他们俩的名字命名的，也是今天要讲的主题。



纳维尔
克劳德-路易·纳维尔 (Claude-Louis Navier,1785年2月10日-1836年8月21日) 是一位法国工程师与物理学家，主要贡献在力学领域。

纳维尔的父亲在1793年过世，纳维尔的母亲让她的叔叔Emiland Gauthey来教育纳维尔。1824年纳维尔进入法国科学院，1830年时担任国立桥路学校的教授，次年接替奥古斯丁·路易·柯西，在巴黎综合理工学院担任微积分及力学的教授。

纳维尔在1821年将弹性理论以数学公式的形式表示，使这个领域第一次可以计算有足够精确度的结果。1826年纳维尔确认弹性模量是材料的一个基本属性，和物体的截面二次轴矩无关，因此纳维尔也是结构分析的创始者之一。

当然，纳维尔主要的贡献还是纳维尔－斯托克斯方程，是流体力学的理论中心。由于其卓越的贡献，纳维尔也是法国艾菲尔铁塔上所刻的72人名字之一（还有拉格朗日，拉普拉斯，傅里叶等大家）。

埃菲尔铁塔上刻有象征法兰西科学精神的72个人物名字的位置



乔治·加布里埃尔·斯托克斯



乔治·加布里埃尔·斯托克斯爵士 (eorge Gabriel Stokes,1819年8月13日-1903年2月1日)，爱尔兰数学家和物理学家，就读和任教于剑桥大学，主要贡献在流体动力学、光学和数学物理学（如大家熟知的斯托克斯公式）。他曾任英国皇家学会秘书和会长。

他出生在新教徒家庭，父亲是爱尔兰斯莱戈郡教区牧师。先后在都柏林、布里斯托尔就读，1837年考入剑桥大学彭布罗克学院。四年后以最高分毕业，并获得史密斯奖。1849年获卢卡斯数学教授席位，1854年出任皇家学会秘书，1885–1890年期间出任会长。1889年被封为从男爵。1899年6月1日，他任卢卡斯教授50周年，剑桥大学举行了盛大庆祝会，校监向他颁发金牌。

1842至1843年，他刊出第一批论文，关于不可压缩流体的稳定流动。其后在1845年，他就流体流动的摩擦力及弹性固体的平衡和运动发表论文，在1850年探讨流体的内部摩擦力对摆运动的影响。他也曾就声音的理论作出贡献，如风对声音强度的影响。他的研究标志着流体动力学的新里程，不但有助解释自然现象（如空中云的运动、水中漾和浪的运动等），更有助解决技术问题，如水在河和管道中的流动以及船只的表面阻力等。

前面我们曾说到，在CFD流体力学中，最重要的方程就是纳维尔-斯托克斯方程 (Navier-Stokes equations)，这并不是一个单一的方程，而是一个方程组，是在众多科学家和工程师的推动下产生的。在流体力学中，有很多方程，但很多方程都和纳维尔-斯托克斯方程有着联系，可以说，该方程在流体力学中起着基础性的作用，但也起着决定性的作用，套用指环王的故事，Navier-Stokes equations可以比做至尊魔戒，其它大大小小的方程比做各个流体力学国度国王拥有的普通戒指，那么可谓是一戒统领众戒 (one ring rules all rings)。

数学家、科学家伊恩·斯图尔特 (Ian Stewart) 出过一本书，名叫《17 Equations That Changed The World (改变世界的17个方程)》。其中大多数公式我们都见过，里面就包括纳维尔-斯托克斯方程。



改变世界的17个方程
Navier-Stokes equations已经渗透到描述流体的方方面面，也在众多实际工程中得到了应用。但意外的是，这个方程的数学特性——解的存在性和光滑性至今没有得到证明。